无标题无名氏No.56236958 只看PO
2023-03-16(四)18:31:55 ID:ce3DtsX 回应
能不能说0的倒数是∞？如果能那这个∞是+∞还是-∞？
如果不能此串堂堂终结|ー` )
无标题无名氏No.56303660
2023-03-19(日)21:23:42 ID: MjeW2aI
>>No.56303224
前面说了几个反面的观点
比如从代数的角度>>No.56237622
或者实分析的角度>>No.56281157
这里可以从几何的角度给出一个“有点正面”的观点：
采用两种不同的办法，可以将单位圆上某一开集的点θ映射到数轴上，即图中 z(θ) 和 w(θ)
在交叠区，即公共的定义域上，z 和 w 互为倒数
z = 1 / w
但需注意 z(θ) 的定义域中不包含 +π，w(θ) 的定义域中不包含 -π
对于 z(θ)，我们可以将 z(+π) 理解为∞，对应 w(+π) = 0；对于 w(θ) 亦然
通过这种方式，也可以比较形象地理解>>No.56237134
从左边趋向于 +π 对应 z → -∞，w → -0
从右边趋向于 +π 对应 z → +∞，w → +0
对于 -π 有类似的结果
然而值得注意的是
1：这种方法定义的 ∞ 与实分析中的无穷完全不是一回事，分析中的无穷是取极限，∞ 是这种过程的简写
2：这种方法定义的 ∞ 不是一个数，也不能说 0 和 ∞ 互为倒数，这里的 ∞ 只对应单位圆上的一个点，它根本不在数轴上
无标题无名氏No.56310552
2023-03-20(一)09:35:03 ID: e0JGM8m
>>No.56303660
我来用初中的话整理一下吧 |∀ﾟ
单位圆O 中 直径AB 与 直径CD 相垂直，求证 线段OZ 和 线段OW 长度互为倒数。
易见 角OTD = 角ODT = 角OZT，三角形OTW 相似于 三角形OZT，所以 OW × OZ = OT × OT = 1。
当 动点T 走到 定点C 时，OW = 0，OZ 就有无穷长度啦 |∀ﾟ
确实正负无穷不是实数，不过如果肯牺牲某些运算的良好代数性质，看成是数有时是很方便的（叫扩展实数系），我就经常把正负无穷区间写成闭的 (`ヮ´ )
无标题无名氏No.56310841
2023-03-20(一)09:53:55 ID: OQ4nsmr
>>No.56303660
这是扩充复平面的思路嘛，确实直观多了
不过这有个问题，就是同复平面一样，你这样定义出来的±∞都是圆上同一个点（θ=π／2）。而如果按照极限去区分±∞，那么这样得出来的＋∞或－∞就是个极限过程，就不能看作是几何上的圆上一点了。
无标题无名氏No.56311940
2023-03-20(一)10:55:16 ID: e0JGM8m
>>No.56310841
不分正负无穷不就刚好能和不分正负零对应起来了嘛，PO的问题也有了唯一的答案，只是代价是无穷之间加减都没办法定义了( ﾟ∀。)
考虑乘除法的话性质还是不错的，非零实数集并上这个无穷，刚好是和实数集是代数同构的