>>No.65750715
这个动机非常的弱智,取一个正整数L,考虑R^3中xyz取值分别从-L取到L,那么整点的数量级是L^3
然后考虑一个齐次的d次3元多项式f,从以上那个大正方体里面各自取xyz,然后最傻逼的来了,我们直接假设f的值是均匀分布的,那么大致可以取到L^d数量级那么多不同的值,于是0就大致被L^(3-d)那么多个点取到
令L趋向于无穷,即得到当d>3(等价于曲线genus>1)的时候,0“基本上不能被取到,除了可能会有的有限多种情况”
这正是faltings定理的表述。。
faltings定理用处可大了呀,有了这个东西,Q上一切代数曲线的有理点的数量和分布就被分成3类
第一类g=0,直接等价于圆锥曲线,高中内容,有理点要么没有,要么无穷多
第二类g=1,那就是椭圆曲线,mordell定理确保有理点构成一个有限生成的abel群,无限的部分就是rank,而有限的torsion部分也有前人的工作搞定了
第三类g>1,faltings的伟业直接告诉你有理点就是有限多个,这不是牛逼大发了,直接解决了剩下无限多种情况,从此这个东西的名字就从“mordell conjecture”变成了“faltings theorem”( ゚∀。)