法国布尔巴基特色的数理结构训练+广泛topic的输入真的让我受益巨大。
今天下午讲stochastic process，课程内容本身很简单，但是促使我继续思考以前就产生了的的问题。作为背景，我从没学过测度论角度的概率论，虽然我知道σ代数之类的并且在各种场合学过一些measure theory，但是绝对不是formalism的程度。
1、从随机变量的函数的CDF计算过程中我嗅到了isomeasure mapping的味道（临时自创的单词），后来意识到这就是the pushforward of a probability measure under a measurable function
2、我看到了stochastic process和unitary time evolution的联系，从之前粗浅的harmonic analysis的经验我能猜到Time evolution is a representation of a (semi)group generated by an operator。所谓的虚时间和实时间演化不过是the choice of real vs imaginary direction in complexified time
3、看到stochastic process的图示我立刻想到Path integrals 很有可能就是expectations over stochastic processes。后来发现indeed，stochastic = probability measure
quantum = oscillatory measure。
4、看到conditional probability的图示，我又联想到了connectivity and topology. 如果在背景空间加入non trival topological structure，那么条件概率会变得很有趣。
5、进一步想到把path可以按照同伦类分解，然后因为local probability invariance，所以拓扑信息只能加入phase term，进而搞出来AB效应等topological QM。虽然其实这点和前面的想法没什么深入关系，大概是想条件概率的时候想到同伦类进而了解了一下这个。
6、又想到了本科毕设里把时间紧化这一步，数学上看好像也没什么复杂的，只是当初不懂所以觉得很高大上
于是就在三小时课程里边学新知识边做跨领域的unification。课后查了一下这些想法其实在八九十年代发展很成熟了，Feynman–Kac measure，gauge theory之类的。
