一：基本求导公式
常数的导数
若 ( c ) 为常数，则
[
\frac{d}{dx}(c) = 0
]
幂函数的导数
若 ( f(x) = x^n )（( n ) 为任意实数），则
[
\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}
]
指数函数的导数
对于自然指数函数 ( e^x ) ：
[
\frac{d}{dx}(e^x) = e^x
]
对于其他底数的指数函数 ( a^x ) （( a > 0 )）：
[
\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln(a)
]
对数函数的导数
自然对数函数：
[
\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \quad (x > 0)
]
其他底数的对数函数：
[
\frac{d}{dx}(\log_a(x)) = \frac{1}{x \ln(a)}
]
三角函数的导数
( \sin(x) ) 的导数：
[
\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
]
( \cos(x) ) 的导数：
[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
]
( \tan(x) ) 的导数：
[
\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)
]
二：求导法则
在掌握基本求导公式的同时，利用求导法则可以解决更多复杂的函数。常用的求导法则有：
加法法则
若 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 为可导函数，则
[
\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)
]
减法法则
同理，
[
\frac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x)
]
积法则
若 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 为可导函数，则
[
\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)
]
商法则
若 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 均可导且 ( g(x) \neq 0 )，则
[
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}
]
链式法则
若 ( y = f(g(x)) )，则
[
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
]
三：常见复合函数的求导
在实际应用中，许多函数都是复合函数。以下列出了几个常见复合函数的求导：
指数与幂的组合
对于 ( f(x) = a^{g(x)} )，
[
\frac{d}{dx}(a^{g(x)}) = a^{g(x)} \ln(a) \cdot g'(x)
]
链式求导
例如，若 ( f(x) = \sin(x^2) )，则
[
\frac{d}{dx}(\sin(x^2)) = \cos(x^2) \cdot 2x
]
隐函数求导
当函数无法显式表示时，例如 ( F(x, y) = 0 )，我们可以使用隐函数求导技术，得到
[
\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}
]
其中 ( F_x ) 和 ( F_y ) 分别为 ( F ) 对 ( x ) 和 ( y ) 的偏导数。
