经过PO进一步对问题的说明，我仍然只能“部分地”理解PO的问题：
我理解了什么：PO的问题似乎与三维空间中的转动和反射对称性，以及它们的破缺有关
我不理解什么：没看懂PO说的方向性和极性究竟指什么
还是按我的理解来说明吧，根据PO举的例子
1）球：对称性最高，拥有三维转动和镜面反射的对称性，数学上叫做O(3)群
2）圆柱：三维转动对称性发生了破缺，变成了二维转动和平行于母线的镜面反射对称性，数学上叫O(2)群，以及一个垂直于母线的镜面反射的对称性，数学上叫Z_2群
3）铅笔：Z_2对称性破缺，O(2)对称性保留
4）小恐龙：只有一个反射对称性（Z_2群）
凭感觉来说，可以区分的方向越少，对称性越高
O(3)到O(2)的破缺，可以为我们确定一个转动平面，由于我们的空间只有三维，确定一个二维平面等价于确定一个一维的轴
这也许相当于PO所说的“分‘上下’而不分‘左右’、‘前后’”
O(3)还可以直接破缺到三种离散对称性：四面体群（T群）、八面体群（O群）、十二面体群（I群）
这三个群不能由O(2)的破缺得到
O(2)进一步破缺，可以得到正n边形的二维转动+反射对称性，数学上叫D_n对称性
D_n中的n >= 3，对于n = 2，情况退化到Z_2群，镜面反射就是Z_2群的一个例子
Z_2群是除了平凡群以外最简单的群
平凡群就是不做任何变换
我想进一步说明，但只能在此止步，因为PO所提出的问题还是太模糊了，问题在于：
PO并没有明确地说明圆柱有没有上下之分，而是作为一个问题提了出来
我反问PO几个问题吧：
1：对于正方体（O群），PO想怎么区分方向
2：对于正四棱柱（D_4×Z_2群），PO想怎么区分方向
